線性方程組的解的結構

Ｉ　Ｔ　技　術

２００９　�。危希�３５

科技創(chuàng)新導報

線性方程組的解的結構

劉勇

(大連交通大學理學院 遼寧大連 116028)

摘 要:本文對非齊次線性方程組進行了深入的討論,并給出了另一種刻畫非齊次線性方程組解的結構的方法,即只用自身的有限個解來表示全部的解。從而使非齊次線性方程組解的結構更加完善。關鍵詞:線性方程組 線性無關 解的結構中圖分類號:G642文獻標識碼:A文章編號:1674-098X(2009)12(b)-0033-01

線性方程組理論是線性代數最基本的內容之一,它在數學的各個領域及其他學科的各個分支都有著廣泛的應用。研究線性方程組解之間的關系及解的結構是線性方程組理論的核心內容。齊次線性方程組解的結構可以通過自身的有限個解來表示其全部解。而在一般的線性代數教材中關于非齊次線性方程組解的結構則是借助于它的導出方程組的基礎解系和它自身的一個解來表示。那么,非齊次線性方程組能否也像齊次線性方程組一樣也用其自身的解來表示全部解呢？這是我們要討論的問題。

設數域P上的線性方程組為

AX=B (1)對應齊次方程組可表為

AX=0 (2)若令α1,α2,L,αn為A的列向量則(1)還可表為x1α1+x2α2+L+xnαn=B,顯然方程組(1)有解的充要條件是B可由α1,α2,L,αn線性表示。

在解決線性方程組有解的判定之后,進一步討論線性方程組解的結構問題。在線性方程組解是唯一的情況下當然不存在什么結構問題。有許多解的情況下,第一文庫網所謂的解的結構問題就是解與解之間的關系問題。同樣分兩種情況:1.B=O

定理1設齊次線性方程組(2)有非零解即r(A)=r

定理2(齊次線性方程組解的結構定理)設齊次線性方程組(2)中,r(A)=r

2.B≠O

定理3(非齊次線性方程組解的結構定理)設非齊次線性方程組(1)中,

r(A)=r(A

%)=r

是非齊次線性方程組(1)的

導出η1方,η2程,L組,ηn(2)?r

的一個基礎解系,那么非齊次線性方程組(1)的全部解為

γ0+k1η1+k2η2+L+kn?rη,

n?r

其中k1,k2,L,kn?r∈P。

r(A)=r(A

上述3個定理在一般的線性代數教材%)=r

如果γ1,γ2,L,γn?r+1是它的n?r+1個線現在,我們比較上述兩種情況,齊次線性無關解,那么非齊次線性方程組(1)的全性方程組解的結構是通過自身有限個解來部解為:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1,其表示全部解的,而非齊次線性方程組解的中k1+k2+L+kn?r+1=1。

結構則是通過導出方程組的基礎解系和它這樣,關于非齊次線性方程組解的結自身的一個解來表示的。那么,非齊次線性構我們有定理3和定理4兩種表達形式�？煞匠探M是否也可以用自身的有限個解表示以證明兩個定理是等價的。

全部解呢？我們構想非齊次線性方程組(1)在有無窮多解時的另一種解的結構。

參考文獻

引理1設非齊次線性方程組(1)有無窮

[1]陳志杰著.高等代數與解析幾何[M].北

多解,即r(A)=r(A

%)=r

n?r+1個線性無關解。

[2]王德生著.高等代數與解析幾何習題解

引理2設非齊次線性方程組(1)中

析[M].大連:遼寧師范大學出版社,2002.

r(A)=r(A

%)=r

如果γ1,γ2,L,γn?r+1是它的n?r+1個線育出版社,1994.

性無關解,則當k1+k2+L+kn?r+1=1時,

[4]蔡光興著.線性代數[M].北京:科學出

γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1是非齊次線性

版社,2002.

方程組(1)的一個解。

引理3設非齊次線性方程組(1)滿足r(A)=r(A

%)=r

程組(1)的任意一個解γ都是γ1,γ2,L,γn?r+1的線性組合:γ=k1γ1+k2γ2+L+kn?r+1γn?r+1,其中k1+k2+L+kn?r+1=1。

從引理1與引理3可以得到以下的結論:

非齊次線性方程組(1)中r(A)=r(A%)=r

η1,η2,L,ηn?r是齊次線性方程組(2)的一個基

礎解系,則γ0,γ0+η1,γ0+η2,…,γ0+ηn?r線性無關且非齊次線性方程組(1)的任意解

可表示為:

nr

γ=k?0γ0+∑ki(γ0+ηi)i=1

,

其中k0+k1+L+kn?r=1

這并不是一個一般的結論。

現在,把上面這個結論進一步深化我們就得到了非齊次線性方程組在有無窮多解的時候如何用自身的有限個解來表示它全部解的方法。

定理4 (非齊次線性方程組解的結構定理)設非齊次線性方程組(1)中,

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