垂心余弦定理證明

　　在平時(shí)的學(xué)習(xí)、工作或生活中，大家對(duì)證明都再熟悉不過(guò)了吧，證明是以行政機(jī)關(guān)、社會(huì)團(tuán)體、企事業(yè)單位或個(gè)人的名義憑借確鑿的證據(jù)證明某人的身份、經(jīng)歷或某件事情的真實(shí)情況時(shí)所使用的一種書(shū)面材料。寫(xiě)證明的注意事項(xiàng)有許多，你確定會(huì)寫(xiě)嗎？下面是小編精心整理的垂心余弦定理證明，僅供參考，大家一起來(lái)看看吧。

　　如右圖，在ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c . 以A為原點(diǎn)，AC所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是(b，0)，由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA).

　　現(xiàn)將CB平移到起點(diǎn)為原點(diǎn)A，則AD = CB .

　　而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，

　　根據(jù)三角函數(shù)的定義知D點(diǎn)坐標(biāo)是 (acos(π-C)，asin(π-C))

　　即 D點(diǎn)坐標(biāo)是(-acosC，asinC),

　　∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB

　　∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)

　　∴ asinC = csinA …………①

　　-acosC = ccosA-b ……②

　　由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ，

　　∴ asinA = bsinB = csinC .

　　由②得 acosC = b-ccosA ，平方得：

　　a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，

　　即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

　　而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

　　∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

　　同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ，

　　c2 = a2 + b2-2abcosC .

　　到此正弦定理和余弦定理證明完畢。

　　2

　　正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，關(guān)于這兩個(gè)定理有好幾種不同的證明方法.人教A版教材《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，不易被初學(xué)者接受.本文試圖通過(guò)運(yùn)用多種方法證明正、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合.

　　定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

　　(1)(正弦定理) = = ;

　　(2)(余弦定理)

　　c2=a2+b2-2abcos C,

　　b2=a2+c2-2accos B,

　　a2=b2+c2-2bccos A.

　　一、正弦定理的證明

　　證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

　　AD=bsin∠BCA，

　　BE=csin∠CAB，

　　CF=asin∠ABC。

　　所以S△ABC=abcsin∠BCA

　　=bcsin∠CAB

　　=casin∠ABC.

　　證法二：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

　　AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

　　BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

　　證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓

　　的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

　　證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。

　　因?yàn)锳B=AC+CB，

　　所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

　　因?yàn)閖AC=0，

　　jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

　　jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

　　二、余弦定理的證明

　　法一：在△ABC中，已知 ，求c。

　　過(guò)A作 ，

　　在Rt 中， ，

　　法二：

　　，即：

　　法三：

　　先證明如下等式：

　　⑴

　　證明：

　　故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

　　結(jié)合⑴、 有

　　即 .

　　同理可證

　　.

　　三、正余弦定理的統(tǒng)一證明

　　法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

　　∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

　　根據(jù)向量的運(yùn)算：

　　=(-acos B,asin B)，

　　= - =(bcos A-c,bsin A),

　　(1)由 = ：得

　　asin B=bsin A,即

　　= .

　　同理可得： = .

　　∴ = = .

　　(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

　　又| |=a,

　　∴a2=b2+c2-2bccos A.

　　同理：

　　c2=a2+b2-2abcos C;

　　b2=a2+c2-2accos B.

　　法二：如圖5，

　　,設(shè) 軸、 軸方向上的單位向量分別為 、 ，將上式的兩邊分別與 、 作數(shù)量積，可知

　　，

　　即

　　將(1)式改寫(xiě)為

　　化簡(jiǎn)得b2-a2-c2=-2accos B.

　　即b2=a2+c2-2accos B.(4)

　　這里(1)為射影定理，(2)為正弦定理，(4)為余弦定理.

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